直列システムと並列システムの信頼度の式の導出

以下のような2つの構成要素（信頼度 $R_1$ の構成要素１と信頼度 $R_2$ の構成要素２）を持つ直列システムと並列システムを考えます。

$R_1$ 、 $R_2$ は各構成要素の信頼度（正常に動作する確率）です。

このとき、直列システムの信頼度 $R_a$ は

$\displaystyle{ R_a=R_1R_2 }$

となります。

また、並列システムの信頼度 $R_b$ は

$\displaystyle{ R_b=1-(1-R_1)(1-R_2) }$

となります。

この記事ではこれらの信頼度の式を導出します。

直列システムの信頼度

直列システムはその名の通り、構成要素が直列に接続されています。そのため、構成要素のうちどれか一つが故障すれば、システム全体が正常に動作しなくなります。つまり、直列システムが正常に動作するには、すべての構成要素が正常に動作している必要があります。

このことから、

（直列システムの信頼度）
＝（構成要素１と構成要素２がともに正常に動作している確率）

といえます。

直列システムでは「構成要素１が正常に動作すること」と「構成要素２が正常に動作すること」は互いに影響を与えません。このことは確率の言葉を使えば、「構成要素１が正常に動作すること」と「構成要素２が正常に動作すること」は互いに独立であると言えます。*1

構成要素２の立場からすれば、構成要素１が正常に動作しているのか故障しているのかは知ったこっちゃないということです。構成要素１が正常に動作していようが故障していようが、自分（構成要素２）が正常に動作するときは正常に動作するし、故障するときは故障します。構成要素１の立場からしても同じことが言えます。

「構成要素１が正常に動作すること」と「構成要素２が正常に動作すること」は互いに独立なので、

（構成要素１と構成要素２がともに正常に動作している確率）
＝（構成要素１が正常に動作している確率）×（構成要素２が正常に動作している確率）
＝（構成要素１の信頼度）×（構成要素２の信頼度）

以上のことから、直列システムの信頼度 $R_a$ が

$\displaystyle{ R_a=R_1R_2 }$

となることがわかります。

並列システムはその名の通り、構成要素が並列に接続されています。そのため、構成要素が１つ故障してもシステム全体は正常に動作しつづけます。*2 つまり、並列システムが正常に動作するには、少なくとも１つの構成要素が正常に動作していることが必要です。

ここで並列システムが故障する確率（故障率）のことを考えてみます。*3 「並列システムが正常に動作するには、少なくとも１つの構成要素が正常に動作していることが必要」ということを故障率の視点から言い換えると、「並列システムが故障するのは、すべての構成要素が故障したとき」となります。

直列システムの時と同様に、並列システムでも各構成要素が正常に動作するか故障するかは互いに独立です。そのため、並列システムの故障率は構成要素１の故障率と構成要素２の故障率の積で表され、 $(1-R_1)(1-R_2)$ となります。

「信頼度＝1−故障率」なので、並列システムの信頼度 $R_b$ は

$\displaystyle{ R_b=1-(1-R_1)(1-R_2) }$

となります。

以上の話は構成要素が２個の直列（並列）システムに限ったものではありません。 $n$ 個の構成要素を直列に接続した直列システムや、 $n$ 個の構成要素を並列に接続した並列システムでも成り立ちます。

つまり、 $n$ 個の構成要素からなる直列システムの信頼度 $R_a'$ は、 $i$ 番目の構成要素の信頼度を $R_i$ とすると、

$\displaystyle{ R_a'=\prod_{i=1}^n R_i }$

となります。

また、 $n$ 個の構成要素からなる並列システムの信頼度 $R_b'$ は、

$\displaystyle{ R_b'=1-\prod_{i=1}^n (1-R_i) }$

となります。

*1:これは並列システムでも同じです。

*2:このことを冗長性といいます。

*3:「故障率＝1−信頼度」です。