RL直列回路の過渡状態の電流・電圧を求める

RL直列回路の過渡状態における電流と電圧を求めます。回路の初期状態は下図のようなものであるとします。

はじめ、スイッチ $SW$ はB側にあり、回路を流れる電流は $0$ であるとします。

スイッチをBからAに変えた瞬間

電流や電圧の正の方向を下図のように定めます。

このとき、以下の３つの式が成り立ちます。

$\displaystyle{ E=V_R+V_L~\text{(キルヒホッフの第二法則)} \\ V_R=RI_A~\text{(オームの法則)} \\ V_L=L\dfrac{\mathrm{d}I_A}{\mathrm{d}t}~\text{(自己誘導起電力)} }$

これらをまとめると、次の微分方程式が得られます。

$\displaystyle{ L\dfrac{\mathrm{d}I_A}{\mathrm{d}t}=-R\left(I_A-\dfrac{E}{R}\right) }$

これを解くと、一般解として

$\displaystyle{ I_A=\dfrac{E}{R}-A\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) }$

が得られます。ただし、 $A$ は積分定数です。

この $I_A$ をオームの法則、自己誘導起電力の式に代入することで、抵抗の端子間電圧とコイルの自己誘導起電力を求められます。それぞれ、

$\displaystyle{ V_R=E-AR\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) \\ V_L=AR\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) }$

となります。

電流や電圧の正の方向を下図のように定めます。

このとき、以下の３つの式が成り立ちます。

$\displaystyle{ V_R+V_L=0~\text{(キルヒホッフの第二法則)} \\ V_R=RI_B~\text{(オームの法則)} \\ V_L=L\dfrac{\mathrm{d}I_B}{\mathrm{d}t}~\text{(自己誘導起電力)} \\ }$

これらをまとめると、次の微分方程式が得られます。

$\displaystyle{ L\dfrac{\mathrm{d}I_B}{\mathrm{d}t}=-RI_B }$

これを解くと、一般解として

$\displaystyle{ I_B=B\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) }$

が得られます。ただし、 $B$ は積分定数です。

この $I_B$ をオームの法則、自己誘導起電力の式に代入することで、抵抗の端子間電圧とコイルの自己誘導起電力を求められます。それぞれ、

$\displaystyle{ V_R=BR\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) \\ V_L=-BR\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) }$

となります。